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山西自考会计专业概率论与数理统计复习资料2

山西自考网 发布时间:2012年06月05日

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第二章 随机变量及其概率分布

内容概况
  1.本章引入随机变量及其分布函数概念,讨论了离散型和连续型两种随机变量,先容了几种常用的随机变量。
  2.本章重点内容包括:离散型随机变量及其分布律,连续型随机变量及其概率密度,二项分布与正态分布。

  考点分析
  2007年4月 2007年7月 2007年10月
选择题 2题4分 1题2分 2题4分
填空题 2题4分 2题4分 2题4分
计算题   1题8分  
综合题 1题4分   1题12分
合计 5题12分 4题14分 5题20分

  内容讲解
§2.1 离散型随机变量

  1.随机变量的概念
  (1)引入随机变量的理由:① “常量”到“变量”;② 全面研究随机试验的需要。
  (2)如何引入:一类:随机试验的结果用数量表示的,直接数量化。如:掷骰子,设出现的点数为随机变量X,则X=1,2,3,4,5,6分别表示事件“出现一点”,“出现二点”,…,“出现六点”。另一类:试验结果不是用数量表示的,如:掷硬币,双方比赛的结果等,可以人为赋值,如掷硬币,设结果为随机变量Y,“出现正面”用“Y=1”表示,“出现反面”用“Y=0”表示。如果双方比赛结果使用记分法,可以用分数表示,“Z=3”表示“胜”,“Z=1”表示“平”,“Z=0”表示“负”,等等。
  (3)定义:设E是随机试验,样本空间为Ω,如果对于每一个样本点ω∈Ω,有一个实数X(ω)与之对应,则称X=X(ω)为随机变量,记做X, Y, Z,…。
  (4)说明:① 随机变量不是普通变量,它的取值不是任意的,它是以一定的可能性(概率)取某一个值的,即具有随机性,因此称为“随机变量”;
   ② 在一次随机试验中,可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。
   ③ 引入随机变量后,可用随机变量来描述事件,如掷骰子,设出现的点数为随机变量X,则“出现4点”可表示为{X=4},“不少于4点”可表示为{X≥4},等等。
   所以,其概率可表示为P{X=4}=1/6, P{X≥4}=1/2。
 
  2.离散型随机变量及其分布律
  (1)离散型随机变量定义:若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值,则称X为离散型随机变量。如掷骰子出现的点数,医院门诊一天接待的患者数,某停车场内停放的车辆数,等等,都是离散型随机变量。
 
  (2)离散型随机变量的分布律:设X为离散型随机变量,可能取值为x1,x2,…,xk,…,且P{X=xk }=pk,k=1,2,…,则称{ pk }为X的分布律(或分布列,概率分布)。
  分布律也可以用表格形式表示:
   
 
  (3)分布律{pk}的性质:① pk≥0,k=1,2,…;

  ②  .
  反之,若一个数列{pk}具有以上两条性质,则它可以作为某随机变量的分布律。
  (4)用途:可用分布律求任意事件的概率
   .
 
  例题1.P30
  【例2-1】设离散型随机变量X的分布律为:
  
  求常数c。
  【答疑编号:12020101】
  解:由分布律性的性质知
  1=0.2+c+0.5
  解得c=0.3。
  例题2.P31
  【例2-4】已知一批零件共10个,其中有3个不合格,现任取一件使用,若取到不合格零件,则丢弃,再重新抽取一个,如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。
  【答疑编号:12020102】
  解:X的取值为0,1,2,3。
  设Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取出的零件是不合格的”,
  利用概率乘法公式可计算得
  
 
 
  P{X=1}=
  P{X=2}= 
  P{X=3}=  
 
  故X的分布律为
  
  例题3.P31
  【例2-5】对某一目标连续进行射击,直到击中目标为止。如果每次射击的命中率为p,求射击次数X的分布律。
  【答疑编号:12020103】
  解:X的取值为1,2,…。设Ai(i=1,2,…)表示“第i次射击未中”,事件{X=k}表示“前k-1次射击未中,第k次命中“,则 ,而每次射击命中与否又是相互独立的,即A1,A2,…Ak相互独立。
  X的分布律为
  
  
  =(1-p)k-1p,k=1,2,…。
 
  3.三种常用的离散型随机变量的分布
  (1)0-1分布(两点分布)
  定义:若随机变量X只取两个可能值0,1,且P{X=1}=p,P{X=0}=q, 其中0  
  举例:掷一枚硬币出现正面,向靶子射一发子弹等。
  (2)二项分布
  定义:若随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,而X的分布律为
   ,k=0,1,2,…,n
 
  
  其中0  说明:n=1时,二项分布即为0-1分布,所以,二项分布是服从0-1分布的随机试验进行n次的情况。
  例题4.P32
  【例2-6】某特效药的临床有效率为0.95。现有10人服用,问至少有8人治愈的概率是多少?
  【答疑编号:12020104】
 
  解:设X为10人中被治愈的人数,则X~B(10,0.95)
  而所求概率为
  P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}
  
  =0.9885
  例题5.P32
  【例2-7】设X~B(2,p),Y~B(3,p)。设 ,试求P{Y≥1}。
  【答疑编号:12020105】
  解: ,知 ,
  即 ,由此得 
  再由Y~B(3, )可得
  P{Y≥1}=1-P{Y=0} 。
  泊松定理:设λ>0是常数,n是任意正整数,且 ,则对于任意取定的非负整数k,有 。
  泊松定理的应用:当n很大,p很小时,二项分布可以用泊松逼近来近似计算。
  在实际计算中,当n≥20,p≤0.05时计算效果颇佳。
  例题6.P33
  【例2-8】一个工厂生产的产品中废品率为0.005,任取1000件,计算:
  (1)其中至少有两件是废品的概率;
  【答疑编号:12020106】
  (2)其中不超过5件废品的概率
  【答疑编号:12020107】
  解:设X表示任取的1000件产品中的废品数,则X~B(1000,0.005)。利用泊松定理中的 公式近似计算,λ=1000×0.005=5。
  (1)P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}
  
   。
  (2) P{X≤5} 
   =0.6160。
  最后一步为查附表2而得。此处还用到 。
  (3)泊松分布
  定义:设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,…,而X的分布律为
   ,k=0,1,2,…,
  其中λ>0,则称X服从参数为λ的泊松分布,记做X ~ P(λ).
 
  例题7.P34
  【例2-9】设随机变量X服从参数为5的泊松分布,求
  (1)P{X=10};
  【答疑编号:12020108】
  (2)P{X≤10}。
  【答疑编号:12020109】
 
  解:(1)查附表2中λ这一栏的数据,可得
  P{X=10}=P{X≥10}-P{X≥11}
   
  =0.018133
  (2)P{X≤10}=1-P{X≥11}
  
  =0.986305
  例题8.P34
  【例2-10】设X服从泊松分布,且已知P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}
  【答疑编号:12020110】
  解 设X服从参数为λ的泊松分布,则
   , 
  由已知得
  
  解得λ=2,则
  
§ 2.2 随机变量的分布函数

  1.分布函数的概念
  引入:① 从数学发展的角度,引入函数概念是必然的;
  ② 此函数一定要与概率相联系。对于离散型随机变量X,事件可表示为{X≤b},
  {X>b}, {a  ③ 由于x的取值为任意实数,所以,对于离散型、非离散型随机变量,肯定也适用。
  定义:设X为随机变量,称函数
  F(x)=P(X≤x),x∈(-∞,+∞)
  为X的分布函数。
  离散型随机变量X的分布函数为
   .
  例题1.P36
  【例2-11】设离散型随机变量X的分布律为
  
  求X的分布函数。
  【答疑编号:12020111】
  解:
  当x<-1时,F(x)=P{X≤x}=0;
  当-1≤x<0时,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}=0.2;
  当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}= P{X=-1}+ P{X=0}=0.2+0.1=0.3;
  当1≤x<2时,F(x)=P{X≤x}= P{X=-1}+ P{X=0}+ P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6
  当x≥2时,F(x)=P{X≤x}= P{X=-1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1
  则X的分布函数F(x)为
  
  F(x)的图形如下:
  
  由F(x)的图形可知,F(x)是分段函数,y= F(x)的图形是阶梯形曲线,
  在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。
  2.分布函数的性质
  (1)0≤F(x)≤1。
  (2)F(x)是不减函数,即对于任意的x1  (3)F(-∞)=0,F(+∞)=1,即 , 。
  (4)F(x)右连续,即 。
  例题2.P37
  【例2-12】设随机变量X的分布函数为
  
  其中λ>0,求常数a、b的值。
  【答疑编号:12020112】
 
  解:  =a+0=a,
  而F(+∞)=1,∴a=1
    =a+b=0
  由此得b=-a=-1
  3.用分布函数表示事件的概率:设随机变量X的分布函数为F(x), 则
  (1)P{X≤b}=F(b);
  (2)P{a  (3)P{X>b}=1-F(b).
  例题3.P37
  【例2-13】设随机变量X的分布函数为
  
  求(1) ;
  【答疑编号:12020113】
  (2) ;
  【答疑编号:12020114】
  (3) 。
  【答疑编号:12020115】
 
  解:(1)    ;
  (2)    ;
  (3)   。
§2.3 连续型随机变量及其概率密度

  1.连续型随机变量及其概率密度
  (1)定义:设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负函数f(x),使得对任意实数x,有
   ,
 
  则称X为连续型随机变量,并称f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度(或密度函数)。
  说明:连续型随机变量的“连续”指的是其密度函数在某区间或整个实轴上是连续函数。
  (2)概率密度的性质:① f(x)≥0;

  ② ;
  ③ ;
 
  ④ 设x为f(x)的连续点,则存在 ,且 .
  (3)概率密度的直观说明
 
  例题1.P40
  【例2-15】设随机变量X的概率密度为
  
  求X的分布函数F(x)。
  【答疑编号:12020201】
  解:当x<0时,
  
  当0≤x<1时,
  
  当1≤x<2时,
   
  当x≥2时,
  
  即X的分布函数为
  
 
  例题2.P41
  【例2-16】设连续型随机变量X的分布函数为
  
  求(1)X的概率密度f(x);
  【答疑编号:12020202】
  (2)X落在区间(0.3,0.7)的概率。
  【答疑编号:12020203】
  解:(1)
 
  (2)有两种解法:
  P{0.3  或者
  P{0.3  例题3.P41
  【例2-17】设某种型号电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度
  
  现有一大批此种元件(设各元件工作相互独立),问
  (1)任取1个,其寿命大于1500小时的概率是多少?
  【答疑编号:12020204】
  (2)任取4个,4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率是多少?
  【答疑编号:12020205】
  (3)任取4个,4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500小时的概率是多少?
  【答疑编号:12020206】
  解:
 
  (1)设随机变量X表示元件的寿命
  P{X>1500} 
     
  (2)各元件工作相互独立,可看做4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时,令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数,则Y~B(4, ),所求概率为P{Y=2} 。
  (3)所求概率为P{Y≥1}=1-P{Y=0}  。
  2.三种常用连续型随机变量的分布
  Ⅰ.均匀分布
  (1)定义:若随机变量X的概率密度为 ,
  则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,记做X~U(a,b)。
  (2)分布函数为
  
  分布函数图象如下图:
  
  (3)实际应用:查表时,认为两个修正值之间的数值服从均匀分布,在一段时间内,公共汽车达到的时间认为是服从均匀分布,等等。
  例题4.P43
  【例2-18】公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的,求乘客候车时间在1~3分钟内的概率。
  【答疑编号:12020207】
  解:设X表示乘客的候车时间,则X~U(0,5),其概率密度为
  
  所求概率为
  P{1≤x≤3} 
  Ⅱ.指数分布
  (1)定义:若随机变量X的概率密度为 ,
  其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布,记做X~E(λ).
  (2)指数分布的分布函数为
     ,
  (3)实际应用:电子元器件的使用寿命,动物的寿命,电话的通话时间,接受服务的时间等等,都可以假定服从指数分布。
  例题5.P43
  【例2-19】设X服从参数为λ的指数分布,证明对任意的s>0,t>0,有
   .
  此性质称为指数分布的无记忆性。
  证明:对于任意的x>0, .
  又因为 ,所以 ,
 
  则  
          
  Ⅲ.正态分布
  (1)定义:若随机变量X的概率密度为 ,-∞   其中μ,σ2为常数,-∞<μ<+∞,σ>0,则称X服从参数为μ,σ2的正态分布,记做X~N(μ,σ2).
 
  (2)概率密度函数的性质:
  ①曲线关于直线x=μ对称,则对于任意h>0,有P(μ-h  ②当x=μ时取得最大值 .在x=μ±σ处曲线有拐点,曲线以x轴为渐近线.
 
  ③当σ给定,μ1<μ2时,对应的密度函数的图象可沿x轴互相平移得到.
  ④当μ给定,σ1<σ2时,对应的密度函数的图象如图下图所示,σ越小,图象越尖锐,σ越大,图象越平缓.
 
  (3)分布函数为 .
  (4)标准正态分布:当μ=0,σ=1时的正态分布N(0,1),称为标准正态分布,其概率密度和分布函数分别记做 和Φ(x),即
   , , ,
 
  (5)标准正态分布的分布函数的性质
  ①Φ(-x)=1-Φ(x);
  ② .
 
  (6)正态分布与标准正态分布的关系
  设X~N(μ,σ2),分布函数为F(x),标准正态分布的分布函数为Φ(x),则
  ① ;
 
  做代换:
  
  
  由于U~N(0,1)
  ∴
  ② ;
 
  ③ .
  例题6.P47
  【例2-20】设X~N(0,1)证明对于任意的h>0,有
   。
  【答疑编号:12020208】
  证明  
     。
  例题7.P47
  【例2-22】设X~N(1.5,4),求 。
  【答疑编号:12020209】
 
   =0.8413。
  Ⅳ.上侧α分位数
  (1)定义:设X~N(0,1),若uα满足条件P{X>uα}=α,0<α<1,则称点uα为标准正态分布的上侧α分位数。
  
 
  (2)求法:反查标准正态分布表。
  例题8.查表求u0.1.
  【答疑编号:12020210】
 
  解:
  P{X>u0.1}=0.1
  ∴1-P{X≤u0.1}=0.1
  P{X≤u0.1}=0.90
  查表:
  0.8997→1.28
  0.9015→1.29
   
  
  所以
§2.4 随机变量函数的概率分布
  
  1.随机变量函数的概念:设 是已知连续函数, 为随机变量,则函数 也是一个随机变量,称之为随机变量的函数.
  2.离散型随机变量的概率分布
  设离散型随机变量的分布律为
  
  则在随机变量 的取值 , ,不同的情况下,其分布律为
  
  但是,若  有相同的情况,则需要合并为一项.  
  例题1. P51 例2-25
  【例2-25】设随机变量X的分布律为
  
  求 的分布律。
  【答疑编号:12020301】  
 
   
  解:因为
  
  所以Y只能取值-1,0,1,而取这些值的概率为
  
  
  
  
  故Y的分布律为
  
  有时大家只求Y=g(X)在某一点y处取值的概率,有
   ,
  即把满足 的  所对应的概率相加即可。  
  例题2. P52 例2-26
  【例2-26】X~B(3,0.4)令  ,求P{Y=1}。
  【答疑编号:12020302】  
 
  解:
  
  = P{{X=1}∪P{X=2}}
  = P{X=1}∪P{X=2}- P{X=1}∩P{X=2}
  = 
  3.连续型随机变量函数的概率密度
  定理:设 为连续型随机变量,其密度函数为  .设 是严格单调的可导函数,其值域为 ,且 .记 的反函数,则  的概率密度为
   .
  证明:略  
  例题3. P53 例2-27
  【例2-27】设连续型随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=aX+b其中a,b为常数,a≠0。求Y的概率密度。
  【答疑编号:12020303】  
 
  解:y= ax+b ∵-∞<x<+∞
  ∴-∞<y<+∞
  即α=-∞,β=+∞
  x=h(y)=
  
  例题4. P53 例2-28
  【例2-28】 ,求:
  (1) 的概率密度。
  【答疑编号:12020304】
  (2)Y=aX+b的概率密度。
  【答疑编号:12020305】  
 
  
  
  
  解:利用例2-27所得的结论,fx(x)=
  (1) ,则
  
   
  (2) • 
  即 .
  例2-28说明两个重要结论:当  时, ,且随机变量 称为X的标准化。另外,正态随机变量的线性变换  仍是正态随机变量,即aX+b~ ,这两个结论十分有用,必须记住。  
  例题5. P53 例2-29
  【例2-29】设  ,令Y=tanX,求Y的概率密度fY(y)。
  【答疑编号:12020306】  
 
    
  解:y=g(x)=tanx,值域为(-∞,+∞),反函数x=h(x)=arctany,  记X的概率密度为fx(x),则
  
  这一概率分布称为柯西(Cauchy)分布。  
  例题6. P54 例2-32
  【例2-32】设X的概率密度为 求 的概率密度 。特别地,当X~N(0,1)时,求  的概率密度。
  【答疑编号:12020307】  
 
  
  解:当y≤0时,Y的分布函数
   ;
  当y>0时,
  
  
  其中 的分布函数,则
       (2.4.2)
  特别地,X~N(0,1),则
   ,
  由(2.4.2)式得,当y>0时,
  
  而当 ,即
  
  注意:设X~N(0,1),则 的分布称为 分布,其自由度为1,记为Y .本书后面将会讲到一般的 分布。
  
  第二章 小 结
  
  一、内容分布律
  
  
  二、试题选讲
  1.(1016)抛一枚硬币5次,记正面向上的次数为 ,则 =____________.
  【答疑编号:12020308】
  答案:   
 
  2.(0404)设随机变量 的概率密度为 则  =( ).
  A.
  B.
  C.
  D. 1
  【答疑编号:12020309】
  答案:A   
 
  3.(1004)设随机变量 的概率密度为 则常数 等于( ).
  A. -1
  B.
  C. 
  D. 1
  【答疑编号:12020310】
  答案:D    
 
  4.(1003) 设随机变量 在区间[2,4]上服从均匀分布,则  =( ).
  A.  B.  C.  D. 
  【答疑编号:12020311】
  答案:C  
 
  5.(1015)设随机变量 ,已知标准正态分布数值 ,为使 ,则常数  ___________.
  【答疑编号:12020312】
  答案:3  
 
  
  6.(0704)设每次试验成功的概率为 ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为( ).
  A. 
  B.
  C. 
  D. 
  【答疑编号:12020313】
  答案:A  
 
  7.(0715)已知随机变量  ,且  ,则 ___________.
  【答疑编号:12020314】
  答案:5  
 
  8.(0716)设随机变量 的分布函数为 ,则常数 ____________.
  【答疑编号:12020315】
  答案:1
 
  9.(0727)设随机变量 服从参数为3的指数分布,试求:
  (1) 的概率密度;
  【答疑编号:12020316】 
  (2)  .
  【答疑编号:12020317】
  解:  
 
  
  10.(1028)司机通过某高速路收费站等候的时间 (单位:分钟)服从参数为 的指数分布,
  (1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率  ;
  【答疑编号:12020318】
  (2)若该司机一个月要经过此收费站两次,用 表示等候时间超过10分钟的次数,写出 的分布律,并求  .
  【答疑编号:12020319】
  解:
  
 
   

 

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