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山西自考会计专业概率论与数理统计复习资料下载1

山西自考网 发布时间:2012年06月05日

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第一章 随机事件与概率

  本章概述

  内容概况
  本章是概率论的基础部分,所有内容围绕随机事件和概率展开,重点内容包括:随机事件的概念、关系及运算,概率的性质,条件概率与乘法公式,事件的独立性。

  考情分析
   2007年4月 2007年7月 2007年10月
单项选择题 2题4分 3题6分 2题4分
填空题 4题8分 4题8分 4题8分
计算题 1题8分 1题8分  
合 计 7题20分 8题22分 6题12分

  内容讲解
§1.1 随机事件

  
  1.随机现象:
  确定现象:太阳从东方升起,重感冒会发烧等;
  不确定现象:
  随机现象:相同条件下掷骰子出现的点数:在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等;
  其他不确定现象:在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
  结论:随机现象是不确定现象之一。
  2.随机试验和样本空间
  随机试验举例:
  E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。
  E2:掷一枚骰子,观察出现的点数。
  E3:记录110报警台一天接到的报警次数。
  E4:在一批灯泡中任意抽取一个,测试它的寿命。
  E5:记录某物理量(长度、直径等)的测量误差。
  E6:在区间[0,1]上任取一点,记录它的坐标。
  随机试验的特点:①试验的可重复性;②全部结果的可知性;③一次试验结果的随机性,满足这些条件的试验称为随机试验,简称试验。
  样本空间:试验中出现的每一个不可分的结果,称为一个样本点,记作 。所有样本点的集合称为样本空间,记作 。
  举例:掷骰子: ={1,2,3,4,5,6}, =1,2,3,4,5,6;非样本点:“大于2点”,“小于4点”等。
  3.随机事件:样本空间 的子集,称为随机事件,简称事件,用A,B,C,…表示。只包含一个样本点 的单点子集{ }称为基本事件。
  必然事件:一定发生的事件,记作
  不可能事件:永远不能发生的事件,记作
  4.随机事件的关系和运算
  由于随机事件是样本空间的子集,所以,随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理,并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
  (1)事件的包含和相等
  包含:设A,B为二事件,若A发生必然导致B发生,则称事件B包含事件A,或事A包含于事件B,记作 ,或 。
 
  性质:

  例:掷骰子,A:“出现3点”,B:“出现奇数点”,则 。
  注:与集合包含的区别。
  相等:若 且 ,则称事件A与事件B相等,记作A=B。
  (2)和事件
  概念:称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件,或称为事件A与事件B的并,记作 或A+B。
  说明: 包括三种情况①A发生,但B不发生,②A不发生,但B发生,③A与B都发生。
  性质:① , ;②若 ;则 。
 
  推广:可推广到有限个和无限可列个,分别记作 和
 
  举例:A:“掷骰子出现的点数小于3”与B:“掷骰子点数大于4”则A∪B{1,2,5,6}
  (3)积事件
  概念:称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件,或称为事件A与B的交,记作A∩B或AB。
  说明:A∩B只表示一种情况,即A与B同时发生。
  性质:① , ;② 若 ,则AB=A。

  推广:可推广到有限个和无限可列个,分别记作 和 。
  举例:A:“掷骰子出现的点数小于5”与B:“掷骰子点数大于2”则AB={3, 4}
 
  (4)差事件
  概念:称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记作A-B.
 
   性质:① A- ;② 若 ,则A-B= 。
 
  举例:A:“掷骰子出现的点数小于5”与B:“掷骰子点数大于2”则A-B={1,2}
  (5)互不相容事件
  概念:若事件A与事件B不能同时发生,即AB= ,则称事件A与事件B互不相容。
  推广:n个事件A1,A2,…,An两两互不相容,即AiAj= ,i≠j,i,j=1,2,…n。
  举例:A:“掷骰子出现的点数小于3”与B:“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。
  (6)对立事件:
  概念:称事件“A不发生”为事件A的对立事件,记做 .
  说明:事件A与B互为对立事件,满足:①AB=ф;②A∪B=Ω
 
  举例:A:“掷骰子出现的点数小于3”与B:“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立
  性质:① ;

  ② , ;

  ③A-B= =A-AB;
  注意:教材第5页的第三条性质有误。
 
  ④A与B相互对立 A与B互不相容.
  小结:关系:包含,相等,互不相容,互为对立;
  运算:和,积,差,对立.
  (7)事件的运算性质
  ①(和、积)交换律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;
  ②(和、积)结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);
  ③(和、积)分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
  ④对偶律  ; .
  例1 习题1.1,5(1)(2)
  设A,B为两个随机事件,试利用事件的关系与运算证明:
  
  【答疑编号:12010201】
  证明:
  
 
  
  【答疑编号:12010202】
  证明:
  
 
  例2.习题1.1,6
  请用语言描述下列事件的对立事件:
  (1)A表示“抛两枚硬币,都出现正面”;
  【答疑编号:12010203】
  答案: :“抛两枚硬币,至少有一枚出现反面”。
 
  (2)B表示“生产4个零件,至少有1个合格”。
  【答疑编号:12010204】
  答案: :“生产4个零件,没有1个是合格的”。
 

§1.2 概率

  1.频率与概率
  (1)频数与频率:在相同条件下进行n次试验,事件A发生nA次,则称nA为事件A发生的频数;而比值nA/n称为事件A发生的频率,记作fn(A).
 
  (2)fn(A)的试验特性:随n的增大,fn(A)稳定地趋于一个数值,称这个数值为概率,记作P(A).
 
  (3)由频率的性质推出概率的性质

  ① 推出①
  ② , 推出②P(ф)=0,P(Ω)=1
  ③A,B互不相容, 推出③P(A∪B)=P(A)=P(B),可推广到有限多个和无限可列多个.
  2.古典概型
  概念:具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型:
  ①基本事件的总数是有限个,或样本空间含有有限个样本点;
  ②每个基本事件发生的可能性相同。
  计算公式:

  
  例3.P9 例1-8。
  抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现正面”,B表示“3次均出现正面”,C表示“至少一次出现正面”,试求P(A),P(B),P(C)。
  【答疑编号:12010301】
   解法1 设出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间Ω={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT,TTT},样本点总数n=8,又因为
  A={TTH,THT,HTT},B={HHH},
  C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT},
  所以A,B,C中样本点数分别为
  rA=3,rB=1,rc=7,
  则 
  解法2 抛一枚硬币3次,基本事件总数n=23,事件A包含了3个基本事件:“第i次是正面,其他两次都是反面”,i=1,2,3,而且rA=3。
  显然B就是一个基本事件,它包含的基本事件数rB=1
  它包含的基本事件数rC=n-rB=23-1=7,
  故 
  例4.P10 例 1-12。
  一批产品共有100件,其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次,每次抽取一件,考虑两种情况:
  (1)不放回抽样,第一次取一件不放回,第二次再抽取一件;
  【答疑编号:12010302】
  (2)放回抽样,第一次取一件检查后放回,第二次再抽取一件。
  【答疑编号:12010303】
  试分别针对上述两种情况,求事件A“第一次抽到正品,第二次抽到次品”的概率。
 
  解:(1)
  (2)
  3.概率的定义与性质
  (1)定义:设Ω是随机试验E的样本空间,对于E的每一个事件A赋予一个实数,记为
  P(A),称P(A)为事件A的概率,如果它满足下列条件:
  ①P(A)≥0;
 
  ②P(Ω)=1;
  ③设 , ,…, ,…是一列互不相容的事件,则有
   .
  (2)性质

  ① , ;
  ②对于任意事件A,B有 ;
  ③ ;
  ④ .
  例5.习题1.2 11
  设P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(A-B)=0.3,求
  【答疑编号:12010304】
  解:(1)P(A-B)=P(A)-P(AB)
  ∴P(AB)=P(A)-P(A-B)
      =0.7-0.3=0.4
  
 
  例6. 习题1.2 13
  设A,B,C为三个随机事件,且P(A)=P(B)=P(C)= ,P(AB)=P(BC)= ,P(AC)=0。求:
  (1)A,B,C中至少有一个发生的概率;
  【答疑编号:12010305】
  (2)A,B,C全不发生的概率。
  【答疑编号:12010306】
  解:
  (1)“A,B,C至少有一个发生”表示为A∪B∪C,则所求概率为
  P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
        
  
 

§1.3 条件概率

  1.条件概率与乘法公式
  条件概率定义:设A,B为两个事件,在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率,称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率,记做P(A|B).
 
  例7 P13例 1-17.
  某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职工中技术优秀的分别为20人与40人,从中任选一名职工,试问:
  (1)该职工技术优秀的概率是多少?
  【答疑编号:12010401】
  (2)已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少?
  【答疑编号:12010402】
  解:设A表示“选出的职工技术优秀”,B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得:
  (1)
  (2)
 
  计算公式:设AB为两个事件,且P(B)>0,则 。
  乘法公式:当P(A)>0时,有P(AB)=P(A)P(B|A);
  当P(B)>0时,有P(AB)=P(B)P(A|B).
 
  推广:
  ①设P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
  ②设 ,则
  
  例8 P15例 1-22.
  盒中有5个白球2个黑球,连续不放回地在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率。
  【答疑编号:12010403】
  解:设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为
  
  2.全概率公式与贝叶斯公式

  (1)划分:设事件 , ,…, 满足如下两个条件:
  ① , ,…, 互不相容,且 ,i=1,2,…,n;
  ② ,即 , ,…, 至少有一个发生,则称 , ,…, 为样本空间Ω的一个划分。
  当 , ,…, 为样本空间Ω的一个划分时,每次试验有且仅有其中一个发生。
 
  (2)全概公式:设随机试验的样本空间为Ω, , ,…, 为样本空间Ω的一个划分,B为任意一个事件,则 .
 
  证明:
  
 
  注意:当0  例9 P15例 1-24
  盒中有5个白球3个黑球,连续不放回地从中取两次球,每次取一个,求第二次取球取到白球的概率。
  【答疑编号:12010404】
  解:设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,则
  
 
  例10 P16 例1-25
  在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,并且在各自的产品中废品率分别为5%,4%,3%,求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率。
  【答疑编号:12010405】
  解:设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”,A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”,A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则
  
  由全概率公式得  =30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95%
 
  (3)贝叶斯公式:设随机试验的样本空间为Ω, , ,…, 为样本空间Ω的一个划分,B为任意一个事件,且P(B)>0,则
   ,i=1,2,…,n.
  注意:①在使用贝叶斯公式时,往往先利用全概公式计算P(B);
  ②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.
  例题11 P17 例1-28
  【例1-28】在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。
  【答疑编号:12010406】
 
  解:由贝叶斯公式,
  
  例题12 P17 例1-29
  【例1-29】针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中有5%呈阳性反应,设人群中有1%的人患这种病,若某人做这种化验呈阳性反应,则他患这种疾病的概率是多少?
  【答疑编号:12010407】
 
  解:设A表示“某人患这种病”,B表示“化验呈阳性反应”,则
  P(A)=0.01, ,P(B|A)=0.9,
  由全概率公式得
   =0.01×0.9+0.99×0.55=0.0585
  再由贝叶斯公式得
   
§1.4 事件的独立性

  1.事件的独立性
  (1)概念:若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立,简称A,B独立。  
  说明:事件A,B相互独立的含义是:尽管A,B同时发生,事件A发生的概率对事件B发生的概率没有影响,如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”,“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此,在实际应用中,往往根据实际情况来判断事件的独立性,而不是根据定义。
  (2)性质:① 设P(A)>0,则A与B相互独立的充分必要条件是 。
  证明: 
 
  ② 若A与B相互独立,则A与 , 与B, 与 都相互独立。
  证明:
 
  只证 ,B相互独立
  则只需证
  
  
  =P(B)-P(AB)
  =P(B)-P(A)P(B)
  =P(B)[1-P(A)]
  
  从而得证。
  例题1.P19 
  【例1-30】两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率。
  【答疑编号:11010501】
  解
 
  设A表示“甲射中目标”,B表示“乙射中目标”,C表示“目标被击中”,则C=A∪B。
  P(C)=P(A∪B)
   =P(A)+P(B)-P(AB)
  由题意,A,B相互独立
  ∴P(AB)=P(A)P(B)
  
  
  =1-0.1×0.2=0.98
    注:A,B相互独立时,概率加法公式可以简化为 。
  例题2.P19 
  【例1-31】袋中有5个白球3个黑球,从中有放回地连续取两次,每次取一个球,求两次取出的都是白球的概率。
  【答疑编号:11010502】
 
  解:设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A与B是相互独立的。所求概率为
  P(AB)=P(A)P(B)= × =
  点评:
  有放回:第一次不管抽取的是什么球,对第二次抽取没影响。显然,两次抽取是相互独立的。
  不放回:第一次取到白球概率就是 ,第二次再取到白球的概率是 。显然,两次抽取不是相互独立的。
   注:如果是“有放回”,则两次取球就不是相互独立的。
  (3)推广:① 3个事件相互独立:设A,B,C为3个事件,若满足
        P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),
        P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
        则称A,B,C相互独立,简称A,B,C独立。
 
  ② 3个事件两两相互独立:设A,B,C为3个事件,若满足
    P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),
   则称A,B,C两两相互独立。
  显然,3事件相互独立必有3事件两两相互独立,反之未必。
  ③ n个事件相互独立:设A1,A2,…,An为n个事件,若对于任意整数k
  (1≤k≤n)和任意k个整数1≤i1< i2<…ik≤n满足
  
  则称A1,A2,…,An相互独立,简称A1,A2,…,An独立。
  例题3.P21 
  【例1-34】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中率分别为0.1,0.2,0.3,求敌机恰中一弹的概率。
  【答疑编号:11010503】
  解:设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3,B表示“敌机恰中一弹”。
   
 
  其中, 互不相容,且A1,A2,A3相互独立,则
  
  
  =0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3
  =0.398
  2.n重贝努利试验
 
  (1)概念:如果一次试验只有两个结果:事件A发生或不发生,且P(A)=p(0  (2)计算:在n重贝努利试验中,设每次试验事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率Pn(k)为
   ,k=0,1,2,…,n。
  事实上,A在指定的k次试验中发生,而在其余n-k次试验中不发生的概率为
 
 
  例题4.P22 
  【例1-36】一个车间有5台同类型的且独立工作的机器,假设在任一时刻t,每台机器出故障的概率为0.1,问在同一时刻
  (1)没有机器出故障的概率是多少?
  【答疑编号:11010504】
  (2)至多有一台机器出故障的概率是多少?
  【答疑编号:11010505】
 
  解:在同一时刻观察5台机器,它们是否出故障是相互独立的,故可看做5重贝努利试验,p=0.1,q=0.9。设A0表示“没有机器出故障”,A1表示“有一台机器出故障”,B表示“至多有一台机器出故障”,则B=A0∪A1。于是有:
  (1)所求概率P(A0)=P5(0)= =0.59049;
  (2)所求概率P(B)= P(A0)+ P(A1)= =P5(0)+=P5(1)= =0.91854。
  例题5.P22 
  【例1-37】转炉炼钢,每一炉钢的合格率为0.7,现有若干台转炉同时冶炼。若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99%,问同时至少要有几台转炉炼钢?
  【答疑编号:11010506】
 
  解:设有n个转炉同时炼钢,各炉是否炼出合格钢是独立的,可看做n重贝努利试验,p=0.7,q=0.3,
  { }={全不合格}
  P{至少一炉合格}=1-P{全不合格}
  =1-Pn(0)
  =1-qn =1-(0.3)n≥0.99
  ∴(0.3)n≤0.01
  nlg0.3≤-2
  n≥4
  本章小结:
  
  一、内容(见课本P23)
  
  
  二、试题选讲
  1.(401)设A与B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是( )
  A.P(A)=1-P( ) 
  B.P(AB)=P(A)P(B) 
  C.P( )=1 
  D.P(A∪B)=1
  【答疑编号:11010507】
  答案:B
 
  2.(402)设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,则 ( )
  A.P(AB)     
  B.P(A)     
  C.P(B)    
  D.1
  【答疑编号:11010508】
  答案:D
 
  3.(701)从标号为1,2,…,101的101个灯泡中任取一个,则取得标号为偶数的概率是( )
  A.50/101     
  B.51/101    
  C.50/100   
  D.51/100
  【答疑编号:11010509】
  答案:A
  4.(702)设事件A,B满足P(A )=0.2,P(A)=0.6, 则P(AB)=( )
  A.0.12      
  B.0.4     
  C.0.6    
  D.0.8
  【答疑编号:11010510】
  答案:B
 
  5.(704)设每次试验成功的概率为p(0  A.1-(1-p)3  
  B.p(1-p)2  
  C.
  D.p+p 2+p 3
  【答疑编号:11010511】
  答案:A
 
  6.(411)设事件A, B相互独立,且P(A)=O.2, P(B)=0.4,则P(A∪B)=____________。
  【答疑编号:11010512】
  答案:0.52
 
  解析:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
   =P(A)+P(B)-P(A)P(B)
  7.(414)一批产品,由甲厂生产的占 ,其次品率为5%,由乙厂生产的占 ,其次品率为10%,从这批产品中随机取一件,恰好取到次品的概率为___________。
  【答疑编号:11010513】
  答案: 
 
  解析:设A1表示“甲厂生产”,A2表示“乙厂生产”
  B:“次品”
  
  
  8.(427)设P(A)=0.4, P(B)=0.5, 且P( )=0.3, 求P(AB)。
  【答疑编号:11010514】
  答案:0.05
 
  解析:
  
  
  =0.05
  9.(1014)20件产品中,有2件次品,不放回地从中连续取两次,每次取一件产品,则第二次取到正品的概率为__________。
  【答疑编号:11010515】
  答案: 
 
  解析:{第二次取正品}={一次且二正}∪{一正且二正}
  P{二正}=P{一次且二正}+P{一正且二正}
  
  =

 

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